Людмила Кубашевская стала заниматься фигурным катанием в Марьиной Роще у мастеров спорта Ларисы Новожиловой и Самсона Глязера после войны. Еще обучаясь в школе, начала работать с малышами на родном катке. По окончании школы, в 1955 году поступила в московский институт физкультуры (ГЦОЛИФК) на специализацию фигурное катание на коньках. С 4 курса института Людмила начала свою преподавательскую деятельность.
Первыми ее учениками стали студенты младших курсов, которым она преподавала специализацию, а также тренеры, посещавшие созданную при ГЦОЛИФКе трехгодичную школу тренеров. Со своими студентами Людмила Ивановна занималась в родной ей Марьиной Роще по вечерам на открытом катке.
Окончив институт в 1962 году, она получила предложение работать преподавателем на кафедре. Началась обычная преподавательская работа: чтение лекций, практические занятия, составление методических материалов для студентов, курирование своего курса, работа с дипломниками. За 25 лет работы в институте Людмила Ивановна выпустила более 300 специалистов в области фигурного катания на коньках. Вот имена, пожалуй, самых известных сейчас в России и мире ее выпускников: Т.Капусткина, О.Алексеева, М.Федоров, И.Русаков, М.Саная, С.Шахрай, И.Завозин, Е.Гаранина, А.Свинин, М.Абасова, Ю.Гросс, Л.Ренник, Л.Михайлов, В.Благов, В.Арутюнян, С.Киташева, В.Гольман, С.Бабенко и другие.
Сама преподаватель Кубашевская вела научную работу, готовилась защитить кандидатскую диссертацию на тему «Развитие и влияние вестибулярного анализатора в тренировке фигуристов». Но защищать не пришлось: ее научный руководитель из института медико-биологических проблем, как тогда говорили, «сбежал за границу». Работу над диссертацией пришлось бросить. Однако весь собранный и обработанный материал пригодился в дальнейшем на практике. В это же время Людмила Ивановна входит в состав комплексной научной бригады, которая занималась вопросами подготовки фигуристов. По итогам работы члены бригады докладывали на тренерском совете о том новом, что может пригодиться тренерам для подготовки высококвалифицированных фигуристов.
В институте она выполняет большую общественную и организационную работу: декан факультета зимних и технических видов спорта, председатель предметной комиссии и член Ученого совета.
В 1970 году Людмила Кубашевская и Виктор Кудрявцев по поручению спорткомитета СССР были командированы в ГДР по обмену опытом. В это время в ГДР, в городке Карл-Марксштадт работала талантливый тренер Юта Мюллер, которая имела очень сильную группу фигуристов, таких как Габи Зейферт, Ян Хоффман, Соня Моргенштерн, Кристина Эррат. В течение 12 дней наши специалисты посещали все ледовые тренировки, все занятия ОФП и хореографией. Особенно тогда поразило, что у Юты Мюллер на льду одновременно катались вместе с сильнейшими и «средние» фигуристы — всего около 25 спортсменов на одной площадке. В СССР считалось, что сильнейшие должны кататься отдельно и при закрытых дверях, а здесь все были вместе и практически учились друг у друга. Также было заметно отличие в занятиях ОФП, на которых режим и требования к занятиям были по истине жестким, но это давало возможность немецким фигуристам преимущество в исполнении сложных элементов.
Вернувшись в Москву, Кубашевская на основе полученного опыта написала методическое письмо, которое впоследствии было ею переработано в программу для детских спортивных школ и школ олимпийского резерва по фигурному катанию. По этой программе работали все школы страны в течение двадцати лет.
В те годы Людмила Ивановна много занималась общественной работой: она была членом тренерского совета федерации по фигурному катанию СССР, членом Президиума судейской коллегии СССР и Москвы. Она участвовала в организации ежегодных семинаров для тренеров и для судей. На семинарах тренеры совместно анализировали видеозаписи, обсуждали технику элементов фигурного катания. Можно сказать, что такая методичная и регулярная работа подготовила в определенной степени тот подъем отечественной школы фигурного катания, который пришелся на 70-80 годы.
Одновременно с этой деятельностью Кубашевская часто была судьей на соревнованиях. В 1965 году ей была присвоена всесоюзная категория, она в качестве главного судьи проводила чемпионаты и Кубки СССР. С 1968 года стала судьей международной категории, потом судьей ИСУ и рефери ИСУ. Людмила Ивановна с 1968 по 1990 год судила чемпионаты Европы, мира и другие крупные международные соревнования, причем судила все виды фигурного катания. Очень часто выезжала руководителем советской делегации.
Это было замечательно интересное время, ведь советская школа фигурного катания начинала выходить на ведущие позиции в парном, одиночном мужском катании и танцах на льду. Людмиле Ивановне довелось судить соревнования, на которых выступали Белоусова-Протопопов, Москвина-Мишин, Роднина-Уланов, Зайцев, Черкасова-Шахрай, Гордеева-Гриньков, Валова-Васильев — в парном катании; Кира Иванова, Елена Водорезова, Анна Кондрашова — в женском одиночном катании; Сергей Четверухин, Сергей Волков, Юрий Овчинников, Владимир Ковалев, Игорь Бобрин, Константин Кокора, Александр Фадеев, Виктор Петренко и другие — в мужском одиночном катании; Пахомова-Горшков, Моисеева-Миненков, Линичук-Карпоносов, Бестемьянова-Букин, Климова-Пономаренко, Усова-Жулин, Грищук-Платов — в танцах на льду.
Также это была эпоха блистательных зарубежных фигуристов, таких как Креэнстон, Казинс, Карри, Бильман, Торвилл-Дин и другие.
В 1990 году в судейской карьере Кубашевской случилось непредвиденное. В институте, на курсе, который курировала Людмила Ивановна учился фигурист из Болгарии Бойко Алексиев, который был действующим спортсменом и выступал на международных соревнованиях. На очередных соревнованиях в Югославии, где Кубашевская судила, Бойко в графе «тренер» указал ее фамилию. Международный союз конькобежцев тут же объявил о ее дисквалификации, так как профессионал, которым по статусу является тренер, не может быть судьей. Советская федерация протестовала, доказывала, что это ошибка, но ИСУ было неумолимо.
Радиостанция «Голос Америки» несколько суток рассказывала о «коварстве» советского судьи. Конечно, потерять «своего» судью на международных соревнованиях было очень жаль.
Примерно в это же время Кубашевская приняла решение уйти с работы из института. Она организовала детскую школу при спортивном клубе ГЦОЛИФКа в обществе «Буревестник» и продолжила работу с детьми. В начале 90-х годов Людмила Ивановна получила предложение своей бывшей воспитанницы Татьяны Капусткиной (заслуженный тренер СССР) поработать завучем в СДЮШОР по синхронному плаванию МГС ВДФСО Профсоюзов. Предложение было принято и Кубашевская начала работать на Варшавке, во дворце водного спорта в должности сначала завуча, а затем и директора СДЮШОР, где проработала до своей пенсии.
Будучи уже на пенсии, Людмила Ивановна продолжала работать. Оскар Макаров пригласил её к себе в спортивный клуб «Вымпел», что расположен на севере Москвы. В этот период она занималась с детьми постановками мини-балетов и организацией фестивалей массовых танцев в память тренеров Новожиловой и Глязера. Затем перешла работать в клуб «Ровесник» на юго-запад столицы, где работает и в настоящее время тренером с любителями фигурного катания всех возрастов.
В 2005 году Кубашевская Людмила Ивановна была избрана коллегами в президиум московской федерации по фигурному катанию на коньках для работы с ветеранами.
Федерация фигурного катания на коньках г. Москвы и редакция вестника «Московский фигурист» поздравляют Людмилу Кубашевскую с днем рождения и желают ей крепкого здоровья и творческих успехов.